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-----精选段落-----
注释
第9章
这是1997年12月28日我访问乔基时他对我说的。这次访问中，乔基还告诉我，当实验否定了他和格拉肖在大统一理论中最先提出的质子衰变的预言时（见第7章），他对超弦理论感到犹豫不决。他尖锐指出，他的大统一理论所借助的能量比以前任何理论所考虑的都高得多；而当预言被证明是错误的时候——当他“被大自然压垮”的时候——他研究高能物理学的态度忽然改变了。我问他，如果实验证明了他的大统一理论，会激发他去关心普朗克尺度吗？他回答说：“是的，我很可能会的。”
说到这里，应该记住第6章后面注释提出的那个猜想，弦只是可能比原来想的长得多，从而有可能在几十年内通过加速器来接受实验的检验。
对数学感兴趣的读者应该看到，更准确的数学表述是，粒子族的数目是卡—丘空间欧拉数的绝对值的一半。欧拉数本身是流形的同调群维数的交错和——在这里我们粗略地把同调群当作多维的孔洞。这样，从欧拉数为±6的卡—丘空间生成3个粒子族。
对数学感兴趣的读者知道，我们这里说的是具有有限非平凡基本群的卡—丘空间，群的阶数在某些情况下决定了分数电荷的分母。
专业读者知道，这里有些过程破坏了轻子数守恒定律和电荷—宇称—时间（CPT）反演对称性。
第10章
为了讨论的完整，还应该说明，虽然到现在为止我们在书中讲的许多东西都同样适用于开弦（两端自由的弦）或闭弦圈（这正是我们所关心的），但在这里讨论的问题上，两种弦将表现出不同的性质。毕竟开弦是不会缠绕在某个卷缩维的。不过，圣巴巴拉加利福尼亚大学的Joe Polchinski和他的两个学生戴建辉（Jian-Hui Dai）和Robert Leigh在1989年说明了开弦如何能很好地符合我们在这一章得到的结论。他们的成果最终将在第二次超弦革命中发挥重要作用。
如果你想知道为什么均匀振动的允许能量是1/R的整数倍，请回想一下第4章的量子力学讨论——特别是关于那个仓库的讨论。我们从那里知道，量子力学的能量像钞票一样，是离散的能量“元”组成的：是不同能量“元”的整数倍。在管子世界均匀振动的弦的情形，能量元正好是1/R，我们在正文里用不确定性原理解释过了。这样，均匀振动的能量就是1/R的整数倍。
从数学上讲，在卷缩维半径为R或1/R的宇宙中，弦能量的形式为v/R wR，这里v为振动数，w为缠绕数。同时交换v与w和R与1/R——即交换振动数与缠绕数，同时半径换为倒数，这个方程的形式是不变的。这就是两个宇宙的弦能量相同的原因。我们在讨论中用的是普朗克单位，也可以换成更传统的单位，即用一个所谓弦标度
你大概很奇怪，在半径为R的卷缩维上缠绕着的弦怎么可能测得那半径是1/R呢？这种忧虑是很正常的，不过，问题本身却表述得不够准确。你知道，我们在说弦绕着半径为R的圆时，必然利用了某个距离定义（这样“半径为R”才有意义）。但这一个距离定义却是与未缠绕的弦模式相关的——即与振动模式相关。从这个定义——也只有从这个定义——看，缠绕的弦在空间的卷缩维展开。然而，从第二个距离定义——即与缠绕弦相关的那个定义——看，它们却是局限在空间的一点，就像第一种定义观点下的振动弦一样，而那“一点空间”的半径在它看来是1/R，如正文所讲的。这多少说明了缠绕和未缠绕的弦所测得的半径是互为倒数的，但是，这一点还是有点儿难以捉摸，看来我们应该为对数学感兴趣的读者说说它背后的数学。在普通的点粒子量子力学里，距离与动量（本质上还是能量）通过傅里叶变换相联系。
就是说，在半径为R的圆周上的位置本征态|x＞可以定义为
对数学感兴趣的读者可以看到，更准确地说，弦振动的族数等于卡—丘空间欧拉特征数的一半，这在上一章注释里已经说过了。这个数由h2，1与h1，1之差的绝对值来确定。这里，h p, q是（p, q）Hodge数。这两个量分别给出了非平凡同调3圆（“三维孔”）和同调2圆（“二维孔”）的数目（精确到一个数值变换）。因此，我们在正文里讲孔的总数，而准确地说，族数依赖于奇数维和偶数维孔洞数之差的绝对值。然而结果是相同的。例如，如果两个卡—丘空间的差别在于各自的h2，1和h1，1Hodge数是相互交换的，粒子族数——以及“孔”的总数——是不会改变的。
这个名字源于这样一个事实：“Hodge钻石”——卡—丘空间中不同维的孔洞的数学概括——对一对卡—丘空间来说是互为镜像反射的。
镜像对称这一名词也用于物理学的其他完全不同的场合。如我们在第7章、第8章讨论过的手征性问题——即宇宙是否是左右对称的——讲的便是另一种镜像对称。
第11章
喜欢数学的读者会发现，我们实际在问，空间的拓扑是否是动态的——即它是否会改变。注意，虽然我们常用动态拓扑改变的语言，实际上我们常常考虑一个时空的单参数族，它的拓扑像一个单参数函数那样改变。从技术上说，这个参数不是时间，但在一定极限下可以基本把它当成时间。
喜欢数学的读者应该看到，这个过程，就是将有理曲线“吹落”到卡—丘流形上来，然后利用这样一个事实：在一定条件下，结果生成的奇点，可以通过特别的小技巧来“修复”。
第12章
我们简单概括一下5个弦理论之间的差别。为此，我们注意沿弦圈的振动扰动可以是顺时针的，也可以是逆时针的。ⅡA和ⅡB型弦的差别在于，在ⅡB型理论中，顺、逆时针的振动是一样的，而在ⅡA型理论中，两个方向的振动正好相反。在这里，“相反”有着准确的数学意义，不过可以简单地用每个理论的弦振动模式的自旋来理解。在ⅡB型理论中，所有粒子在同一方向上自旋（它们具有相同的手征性），而在ⅡA型理论中，粒子在两个方向上自旋（具有两种手征性）。尽管如此，两个理论都包含着超对称性。两个杂化理论的差别也基本是这样，但差别更大。它们的顺时针弦振动看起来跟两个Ⅱ型弦的情形一样（只考虑顺时针振动时，ⅡA和ⅡB型理论是相同的），但它们的逆时针振动却是原始的玻色弦理论的情形。尽管同时考虑玻色弦的顺时针和逆时针振动会遇到难以逾越的障碍，但在1985年，格罗斯（David Gross）、哈维（Jeffrey Harvey）、马丁尼克（Emil Martinec）和罗姆（Ryan Rhom）（四个人那时都在普林斯顿大学，绰号叫“普林斯顿弦乐四重奏”）证明，如果把它跟Ⅱ型弦结合起来，则我们能得到一个非常合理的理论。
这种结合真正奇怪的地方是，玻色弦需要26维时空——这是一个老结果，自鲁特杰斯大学劳弗莱思（Claude Lovelace）1971年的研究以及波士顿大学布罗维尔（Richard Brower）、剑桥大学戈达（Peter Goddard）和盖恩斯维尔的佛罗里达大学索恩（Charles Thorn）1972年的工作，我们就知道它了——而超弦如我们讲的只需要10维时空。所以，杂化弦理论的结构是一种奇特的“杂交”的东西——一种具有“杂交优势（heterosis）”的产物——逆时针振动的弦在26维里活动，而顺时针振动的弦却活动在10维！你大概还没太明白这令人困惑的杂交是怎么回事。格罗斯和他的伙伴们已经证明，玻色弦那多出的16维一定卷缩成一个或两个特别高维的面包圈的样子，从而生成杂化O和杂化E理论。由于玻色弦那多余的16维是紧紧卷缩在一起的，所以这两个理论就像Ⅱ型理论那样，表现为只有10维的样子。
当然，两个杂化的理论还是具有超对称性的某种形式。最后，Ⅰ型理论是ⅡB型理论的“亲戚”，不过，它除了有我们在前面章节里讨论过的闭弦外，还有两端没有联结的所谓开弦。