勾股定理的应用——两点之间的最短距离

勾股定理的应用——两点之间的最短距离

类型一：正方体展开图
1.如图，一只蚂蚁从一个正方体纸盒的点A沿纸盒表面爬到点B，它所爬过的最短路径(虚线)在侧面展开图中的位置是图中的(B)

分析：将正方体展开成平面图形→利用两点之间线段最短确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解．从A到B所爬过的最短路径会涉及两个面，即

类型二：长方体展开图
2.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形且边长为2 cm，现有一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面到达B点，求蚂蚁行走的最短路线．

解：如图1所示，AB2＝42＋32＝25，AB＝5 cm.
如图2所示，AB2＝52＋22＝29.
因为25＜29，
所以蚂蚁行走的最短路线应该如图1所示，路程为5 cm.

3.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18 cm，BC＝12 cm，BF＝10 cm，点M在棱AB上，且AM＝6 cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为20__cm．

4.如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是25cm.

类型三：三棱柱展开图
5.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5 cm，底面边长为4 cm，则这圈金属丝的长度至少为(B)
A．8 cm B．13 cm C．12 cm D．15 cm

6.【长方体组合体展开图】如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8 dm，3 dm，2 dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为(B)
A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm

7．【圆柱侧面展开图】如图，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是(D)
A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm

9.【圆柱侧面展开图部分】如图是一底面周长为24 m，高为6 m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1 m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，则老鼠爬行的最短路程为13cm.

类型2　平面上的最短路径问题——“将军饮马”问题
【例】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，则他所走的最短路程是1__000米．

类型三：立体图形的外壁到内壁
10.【母题变式】有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．
(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注．
(2)蚂蚁爬行的最短路线长为100cm.

分析：将内壁折叠到与外壁在同一平面，将问题转化为“将军饮马”问题。
解：如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．
3．(2020·晋中部分学校期中)如图，有一无盖的正方体纸盒，棱长为60 cm，纸盒外壁的顶点A处有一只蜘蛛，纸盒内壁棱MN的中点P处有一只蚊子，这只蜘蛛要捕获到这只蚊子最少需要爬行的距离为150cm.

4．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm(杯壁厚度忽略不计).

5.(2020·太原期末模拟)如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20 cm，则该圆柱底面周长为(D)
A．12 cm B．14 cm C．20 cm D．24 cm