九年级计算天天练，最短路径问题，圆柱与圆锥的侧面展开图

圆锥是一种重要的几何体，与它相关的计算类型繁多，根据展、围、转、剖的特征学习圆锥，这部分知识可迎刃而解。
“展”就是把一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开后展在一个平面上，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此时圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径。这个知识点很重要，不仅常用来求底面圆的半径，也与最短路径有直接的关联。
“围”就是将扇形两边的半径拼到一起，围成一个圆锥，它与“展”恰好相反。此时，扇形的圆心就成了圆锥的顶点，扇形的半径就变成了圆锥的母线，扇形的弧长变成了圆锥底面圆的周长。

“转”就是圆锥可以看做是由一个直角三角形旋转得到的，旋转过程中直角三角形的一条直角边等于圆锥的高，另一条直角边等于圆锥的底面半径。
“剖”就是将圆锥沿着它们的轴将它们一分为二，所得到的截面（轴截面）是等腰三角形，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面直径。
圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于底面圆的周长，长方形的宽等于圆锥的高。

例题1：若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少cm？（丝线的粗细忽略不计）

分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理，由于点B在点A的正上方，因此侧面展开图中点A，点B在矩形的两个顶点处。

本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决。

例题2：如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少cm？

分析：根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长，求出AC，BC，根据勾股定理求出AB即可。注意，与例题1不同的是，点B不在点A的正上方，因此点A，点B不在矩形的两个顶点上。

例题3：已知没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为多少cm？

分析：将圆柱侧面展开，得到长方形MNQP，作点B关于PQ的对称点B′，构造直角三角形ACB′，根据勾股定理求出AB′=20cm，即是所求。

在解题时，要注意这三种题型的区别和联系。

解决圆锥侧面上的“最短路径”问题，关键是将圆锥的侧面展开得到与原侧面对应的平面图形，在平面图形中寻找最短路径。
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