八年级数学：已知x y与xy，如何求x与y的n次方和？

例题

分析：在学习了完全平方公式以后，对于（1）题应该是没什么问题的，利用完全平方公式，变一下形就出来了，那其它题呢？如果暂时没有思路，不妨先把（1）题做出来。
（1）

现在继续来分析，和之前有什么不同呢？一个题如果有好几问，后面的问题往往需要用到前面的结论，故现在已知条件拓展了，除了知道x y=2，xy=1，又增加了一个已知条件x^2 y^2=2.再仔细观察上式，如果把等号右边的x和y换成x^2和y^2，左边就变成了x^4 y^4！，同样的方法还可以求出x^8 y^8.那我们不妨先把（3）和（7）做出来。
（3）

（7）

(2)(4)(5)(6)又该怎么做呢？你知道立方和公式？你们老师讲过？那假如你记错公式或忘了公式怎么办？即使你记对了，那也只是解决了(2)题，(4)(5)(6)怎么办呢？其实思路还和前面一样，(4)题可以用已知和(1)的结论，(2)题同样可以，只是(4)比较特殊，正好能利用完全平方公式，那完全平方公式又是怎么来的？是多项式乘多项式的特例！那(2)题可不可以转化成多项式乘多项式，从而把已知和(1)的结论利用起来呢？答案是肯定的！
(2)

上式继续变形即可得到立方和公式

有了(2)的经验，(4)(5)(6)是不是开始有点儿思路了？
(4)

除了4次乘1次还可以3次乘2次、2次乘3次、1次乘4次，此处不再罗列，可自行选择，强烈推荐“大头冲前”的写法（抓关键、先抓主要的）。
(5)(6)思路同(4)，一起给出

小结
通过这道题你发现了什么？数字是否比较特别（为什么）？你能写出一般的规律吗？
1、为什么结果都是2？
这是因为当x y=2，xy=1时，x=y=1.这本身是一个二元二次方程组，可消元转化为一元二次方程解出其中一个值，进而得出另一个值，感兴趣的同学可自行预习下相关内容（人教版九年级上册）.如果你能直接求出x和y的值，那么本题就产生了另一种非常简单的方法，把俩1代进去，秒出结果。但是这种做法具有很大局限性，换个数字就很难这样做了，比如当x和y带根号而且不止一个值时。
2、一般规律
（1）当指数是2的倍数时

（2）当指数不是2的倍数时

相较而言，公式①更简单，但公式②更具有普遍性，而且公式②还有其它很多变形，除了拆成(n-1)次和1次，还有很多种拆法，实际应用时要结合已知条件来选择，已知几次的就尽量拆成几次的。其实(6)用公式①更简单，(3)(7)也可以用公式二的方法。
方法的好坏不能单纯用简单复杂来衡量，一味求简是大忌，会陷入误区，要多思考，多总结思路，不断强大自己。