月球坑｜在「反人性」数学题前，探月学院-素养教育是伪命题吗？

内心丰盈的个体，积极行动的公民

关于「月球坑」
「月球坑」播客系列栏目是探月的一次全新探索。我们希望通过对话的形式，带领你走进探月的创新教育实践——去聆听践行路上踩过什么「坑」，走过哪些弯路，又做了哪些坚持。探月学院创始届毕业生，目前在美国里德学院研读神经科学和哲学专业的 Susan，作为「过来人」邀请探月社区中的老师、学习者和家长们，共同探讨他们在探月做了哪些尝试，为什么会这么做，以及过程中遇到的美好和挑战。
在对话的背后，你或许能捕捉到一线教育工作者们和学习者们，对于创新实践和素养本位教育的感悟、对于人的理解，对于社会的洞察；或是通过他们讲述的，在实际教学中遇到种种困难的真实场景，看到这些实践背后折射出的当代青年人的时代群像。
准备好了吗？一起去月球上踩「坑」吧。
对 话
主持：Susan（探月毕业生）
嘉宾：曹竹飞（探月数学老师）
制 作
剪辑：Cyan Chen（探月音乐老师）
视觉：Cherry（探月毕业生）

月球坑 ｜ 在「反人性」数学题前，素养教育是伪命题吗？音频：00:0001:14:09

提到数学教育，一方面解题、算数这些技术性的训练，似乎对于提高运算能力不可或缺；另一方面，一个人的数学天分又往往与其「智商」挂钩，使得「数学思维」仿佛成为了某种天生具备的，无法被培养的能力。这是真的吗？在计算机如此发达的当下，学习者究竟为什么还要学习数学？数学学习如何锻炼人的思维能力，而思维能力具体又是如何被培养的？
带着这些疑问，Susan 邀请到了探月的数学老师曹竹飞 Ignacio，又称「一哥」，和他进行了长达一个多小时的对话。
以下是对话内容节选。

一哥的数学课堂
Susan：你为什么要来探月做数学老师？
曹老师：我一直都比较享受做一些和教育有关的事情，这个行业可以使社会与我自身生命产生关联。来到探月之前，我做幕后的事情多一些，比如培训志愿者走进中国的县、镇级学校，去了解当地教育和学生现状。随着时间的推移，我意识到自己其实缺乏另一个视角，即一线教育工作者的视角。我不知道长期在一线教学的老师，会面临哪些困境，会遭遇哪些自身成长的挑战，以及他们面对学生的日常状况是怎样应对的。这是我来到教育一线的一个很重要的原因，同时我认为探月是一个能够和学习者一起真正去关注素养本位教育，和他们平等、自由交流，并且一起去探索更多知识和世界如何关联的地方。这也是为什么我来到探月进行教学实践的重要原因。
我从小就很喜欢数学，但是我在高中求学的过程中，身边有一群很有数学天赋的同学。所以那个时候，我觉得数学对我来说是「高不可攀」的，也就并没有选择数学作为未来深造的专业。我在大学的专业是经济金融，也会学习数学相关的知识。在这个过程中，我依然能感觉到自己对数学的那种很深刻的喜爱。
于是研究生阶段，我又去学习概率论与数理统计，过程还蛮挣扎的。学习高阶数学的时候，你会产生一种挑战自己知识极限的感觉，很痛苦。但是，在每一次攻克难点的瞬间，又会非常非常快乐。现在，我看到某些人用智慧去解决数学问题，或者研究出一些非常美的数学模型的时候，仍然会觉得这个世界真是太奇妙了。这大概就是很本源的，我对数学的爱吧。
Susan：数学对你来说，是一个怎样的学科？它独特在哪儿？
曹老师：在我不同的生命时期，对这个问题的回答是不一样的。最近一段时间，我越来越体会到，为什么在古希腊，像毕达哥拉斯这样的学者就提出「万物皆数」，宣称一切事物的本原都是数，运用这样的观点来看待世界。这种解释世界的方式，是我以前完全无法想象的。为什么世界的本原会是数呢？现在我研究数学的时候，越来越认可这样庞大而深刻的理念。我认为数学最最独特的，也是我心目中数学存在的意义，在于它其实是人类构造出来的、一个思维世界中非常完美、没有一丝瑕疵的东西。这一点，造就了数学在人类世界中的地位。人类在创造它的时候，不断地挑战着自己，质疑自己「能不能创造出一个没有任何错误的事物」。一旦人类发现数学世界中存在哪怕一点点元素，一点点逻辑有问题，都会认为这个事物，不能称其为理想中数学的样子。
从古希腊时期开始，人们对纯粹几何，对万物皆数就开始有执念了。我认为在近代数学发展中，随着更多研究领域的出现，可能会对「数学是被人创造的，还是它是自然本来的真理」产生观念上的分歧，并进一步引发更多的观点。但我觉得人类创造数学，从真实世界中抽象出来一个理想模型的挑战，永远会是人类世界中一直延续的、很有趣很美妙的事情。

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Susan：听上去好绝望，人类一定要创造出一个理想的事物，但是心里又隐隐觉得人是有限的。这让我联想到我学习的哲学概念。
曹老师：对，数学和哲学一直以来都有非常强烈的关联。在很多学校对学科的划分，以及很多人对学科的理解中，数学一定和我们通常认为的理科是有一些或者很大不同的。提到理科，比如说物理、化学，都有一个可以被验证的假设，而那个假设实际上是我们从真实世界的一些现象出发，抽象出来的某些原则。但数学不是，数学更多就是研究抽象世界本身、抽象模型本身。最初，数学有可能来自于人类的直觉，或某些符号本身的逻辑。这些和真实生活并没有必然的联系。但是，奇妙的点在于，当我们找到了抽象而完美的东西，并且在一定的假设下应用到真实世界时，它又能非常强烈地指导我们的现实生活。例如，牛顿做的事情，莱布尼茨做的事情，以及现代科学所做的事情，都在运用我们想象出来的完美数学世界指导真实世界。这就是数学非常神奇又有力量的一点。

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Susan：以上这些，引出了另一个问题：作为一名数学老师，你觉得在高中阶段的数学课上，或者是你为学生提供的创新教育体验中，你最想通过教授数学带给学生什么？你最希望他们从数学课中学到什么？
曹老师：这是一个非常好的问题。不仅仅是数学，我坚信每个学科都有它自己的灵魂，任何课程不管它是纯粹的数学推导、建模或是其它形式，它的核心是授课老师设计这个课程的逻辑和相应的一系列教学行为，能让学生感受到学科本身的美好。比如说英语或语文，可以让学生体会，使用文字语言记录所有人类美好的、痛苦的、激烈的情绪情感。无论你身处任何时代，每次读到这些文字，都能感受到作者细微的情绪波动，即使已穿越了千年。我认为这就是偏文学性的学科内在的灵魂。
而对于数学来讲，那个灵魂就是要让学生感悟到人类对构造完美思维体系世界的执念，为了追求逻辑上毫无瑕疵的那一种苦心孤诣，体会到经过长时间的付出和漫长的失败后，就是为了完成一个非常完美的证明，推导出一个抽象的模型。学生在这个过程中，看到数学家的坚持和数学本质上所呈现的完美与严谨的时候，我相信他们一定会动容，他们会感受到对思维逻辑严谨的追求，带给他们的生活何种影响，并成为他们看待自身和社会的一个非常重要的观念基础。

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Susan：听上去，追求严谨、追求正确，是一件非常反人性的事情。
曹老师：也许会有一点吧。其实人总会有某种惰性，或是觉得只要能从表面上与之相适应就可以了，为什么一定要去追问？比如说数学里面大家都耳熟能详的，关于「无穷」的理解，自然数的个数已经代表无穷了，但是这好像并不是唯一的一种无穷，还有数学上不同类别的无穷，看起来非常反人类。确实，很多学习者在学数学的时候，包括我自己，当时都觉得后面学不动了。原因是我们最初能理解的数学是建立在直觉上的，比如我们能看到一只羊，一条鱼或一个板凳，所以我们可以建立「一」的概念，加法的概念，乘法的概念。但是当我们学到虚数，学到矩阵，学到更多抽象的知识时，会怀疑自己失去了数学符号和现实世界的关联，这样的情况很常见。实际上数学家研究的就是这件事情，不断的告诉人类，数学的起源可能从直觉开始，但它并不必然依赖于直觉和某些生活中的现象。

Susan：在探月，一堂典型的、标准的数学课，会是什么样子？它如何使得学生逐渐领略数学的本质，或者帮助学生逐渐构建具体之外的抽象认知？
曹老师：课堂是一种教学活动，任何一个教学活动都会有其潜在的目标。对于探月的数学课来讲，一方面，知识性目标必不可少，比如今天讲三角函数，还是讲二次函数，或是讲几何问题。另一方面，探月的课堂还有认知能力培养目标，具体在数学课上，其中一个重要的认知能力，是和建模相关的。
以我的课堂为例，会使用 Desmos 线上交互软件。每个学习者都有属于自己的界面，根据自己的学习进度回答界面上老师设计好的探究性问题。举个例子，我要讲某一个数学定理，我不希望直接告诉学习者这个定理是什么，我会证明给大家看。反之，我希望学习者能够自我探索，找出这个定理与之前学过的学科知识的关联性，运用这样的方法，学习者就有可能自己推导出这个定理。所以，一堂标准的探月数学课，一定会有一部分，甚至很大一部分是老师们采用不同的教学方式，让学习者自己尝试去探究出数学世界里面已经非常成熟的一个定理、一个公式、一个知识点。当然，在平日的学习中，也会有传统的习题训练，对于复习学科知识来讲，确实是一种高效的方法。

课堂探究任务- 用desmos软件描点给出二次函数图像
除此之外，探月的所有课堂中，有一点是很重要的——表现性评价。在数学学习中，我们希望学习者把学习到的数学知识和一些生活中的问题相关联，或者说和数学已经建立起来的世界关联。我们会布置大小不一的任务，多数是偏生活类的问题。比如，探月的学习者都喜欢打飞盘，探月教学楼刚启用，楼顶还没有向大家开放。很多学习者迫不及待地问：楼顶开放以后，我们可以在天台玩飞盘吗？基于这个情境，我们会反问：“你们提出的这个问题，不只是一个意愿，而是要考虑（如果在天台玩飞盘）飞盘会不会飞出去？会不会造成安全隐患？”尽管这可能会涉及非常系统的问题，但解决这个问题时，会有可能用到学过的基础知识，包括参数、直角三角形的正与弦。让学习者尝试用这些视角，自己探索在天台玩飞盘是否合理。
除了上述例子，还有我们发现音乐的本质是一个有规律的震动，这个震动也能用数学上广义的三角函数把它描述出来。那么有没有可能探索一下从古至今、从西方到东方所有的乐律本质上和数学是否有一些有趣的关联呢？在这个过程中，学习者可以去探索和验证其所学的三角函数以及更多的数学知识。表现性评价是观察学习者学习基础知识之后，是否可以运用这些知识和更大的世界、更真实的世界产生关联。

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Susan：听起来探月的数学课有很特别的两部分，一是在学习具体的知识或定理时，老师更多的是引导学生或给予提示，让他自己去得出结论，而不是直接讲述。另一个是在学生已经掌握了一些基本数学知识之后，老师会给出具体情境，让学生去运用所学的知识，解决一个真实而具体的问题。
另一个问题是关于您讲到的探究的部分，其目的是希望学生自己探索并发现这些定理，相对于直接讲述，这个过程会不会更麻烦、更费时间？
曹老师：一定会的。当一个知识摆在那里，让学生记住的最快捷的方法，一定是老师直接讲述。但是这种记忆是短期的，因为和他们的生活没有产生关联，可能只是因为课程考试要考，或是申请大学要考，他们因为这些原因而不得不记下这个知识。但实际上，如果一个人能够长期记忆一些内容，一定是因为这个知识和自己原有的知识体系发生了动态的、生长性的关联。
所以说，探究性活动实际上是补充一种成长性的可能。当一个学习者经历这样的过程之后，在更长的时间内，会让这个知识在他自己的知识图谱中定位更清晰，也更容易建立自己所学知识和更广阔的知识图谱相互的关联。当然就像你刚刚提到的，这个肯定需要花费更长的时间。我经常和学习者说，你们现在已经拥有了公元17世纪最厉害的数学家所掌握的数学知识，他们花费了很长时间才研究出来的东西，而你们可能只用了从从初三到高一，仅一年的时间。从这个维度上看时间，当然是高效的。
但同时会带来一些新的问题，比如解题技巧的训练上，探月的学习者可能不那么熟练，但我个人感觉影响没那么大。我们为什么要把解三角函数或反三角函数练得那么熟练，练得那么迅速？很大的一个缘由是考试要考，而考试是有定时的。在有限的时间里面，能够用熟练的技巧解决一个复杂习题，说明你在数学上的技巧掌握得很好。但是，我们都知道考试并不是时刻发生，对于未来计划出国留学的学习者来说，更多会在 AP 考试中应用解题技巧。那么，我们进一步思考，AP 考试的考点和需要进行的练习，有没有可能融入到我们开设的 AP 课程和低阶课程设计中？这样也便于我们更好的梳理知识点。
有一些对日常生活产生意义的数学模型或数学应用，不在任何大学考试要求中，我在课堂上完全可以不讲。但是，我为什么还要让学习者把这部分知识运用并练习熟呢？我在乎的是学习者在将来更长的时间中，某一天他真正面临一个课题研究，可能耗费一天、两天，甚至一个月的时间，但他知道如何找到需要的知识或软件，他知道需要用什么样的素材，来解决这个问题，就非常好。学习者面对的是一个更开放、更长久的探索性问题，这些能力是我们牺牲了一些定时的技巧训练时间，而给他们留出来的更多的可能。
Susan：刚才聊了知识探究部分，对于知识在项目中的应用，我还有一个问题。比如，飞盘这个项目，让学习者决定屋顶围栏要建多高，飞盘飞出去才不会砸到人。那么学习者去探究这个课题，和他们做一道应用题，例如小明有一个飞盘，给出围墙有多高，求飞盘飞出的顶点会不会砸到围墙。这两者之间本质性区别是什么？或者说探月试图强调的认知能力究竟是如何体现的？
曹老师：这也是一个很好的问题。其实，我在最初教学过程中也会有这样的思考，我最近或现在给出的答案是，应用题本身重点不在应用，它本质上首先要作为一道题存在，换句话说，就是它存在的大背景是有一个标准化的考试，而这个标准化考试最重要的特点就是你会看到它是个应用题，它的答案是唯一的。这是应用题最大的一个特征。
但现实生活中真正的问题，就意味着答案可能是多种多样的。从一个应用题到一个真实的应用生活问题，最大的区别就在于，应用题一开始的设定足够严苛，它只是把一些围绕数学题目答案的条件变换到了真实情境相关联的文字描述当中。而我们在解应用题时，其实多了一层翻译和理解。这就需要学习者了解问题本身条件中暗含的数学信息是什么，要把那些信息抽取出来，联系到学过的知识中，然后再输出一个被出题人设定好的答案。也就是说，实际上所有的信息都是出题人（老师）完全掌控的。他掌控了条件，决定应该给学习者输入什么信息，因此他也掌控了输出的答案，即输出的答案只有一种可能。
而学习者的挑战是，他能不能明白出题人暗含在题目文字里面的信息——这是给他们新加的一层挑战。对于一个真实的应用问题来说，真实世界给学习者提供的元素、呈现的信息，他们一开始不知道哪些是有关的、哪些是无关的，因为没有人刻意预留任何信息。这个世界中和这个问题相关联的信息哪些有关、哪些无关需要学习者自己去判断，这是第一个难点。然后就是学习者已经学过很多知识，尽管我们都会在一个知识单元学习之后给出问题，学习者大致能猜测出可能要用哪些知识来解决问题。但是对于一个更真实的问题，学习者需要从自己所学知识架构中确定到底应该应用哪些知识，这是第二层挑战。第三层挑战是，即便学习者确定了使用哪些知识，但由于前面获取信息不同，判断哪些条件有关，哪些条件无关这样一个预设不同，到最后数据分析的对象也会有所不同。此时学习者给出的答案也会是多种多样的，自己和小组成员可能会给出同一个答案，但学习者怎么知道自己的答案是否够好呢？
这里一定会有验证的过程，这个验证需要学习者看见和反思自己的答案，也要看见其他人的答案。其他人也会来评价和探讨他的答案。当大家在这种更多元的答案中相互探讨的时候，每个人就真正的更加接近于人类探索真实问题的过程本质。

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Susan：关于答案的多样性，能否举个例子，同样都是扔飞盘的问题，一份作业显示出学生应用了很高阶的思维能力或者展示出对数学知识深刻的理解；另一份作业，有很多改进空间。可能这两份作业答案是相似的，但在寻找答案的过程中，会呈现出不一样的状态，它们的区别在哪儿？
曹老师：比如说我是给九年级、十年级学习者布置作业，作业涉及到的数学知识可能就是直角三角形里面的三角比，物理知识可能就是抛体运动、自由落体运动。所以，很多学习者会很自然的有一个假设：飞盘被我扔出去之后，开始下落时，我是不是能用自由落体或者抛体运动来模拟它的运动规律呢？接下来，他可能直接假想自己物理课上学过这个模型，进而使用这些知识去解决问题。这是一种层次的对问题的回答，从学习者具体所学的知识，以及被要求掌握的知识领域来看，达到这一点其实已经不错了。因为他可以从数学学科作业，联想到物理学科知识，联系到他在物理学习中遇到的情境，已经非常好了。
但我们也看到，还有一些学习者，他们会进一步批判和反思。他们看飞盘运动轨迹的时候，会想到这应该不是学过的那种自由落体，然后他们会尝试去思考飞盘什么时候是自由落体呢？玩过飞盘的朋友应该知道，有一种叫 hammer 的扔飞盘方式，当扔出一个 hammer 的时候，飞盘更像一个锤子上去下来这种自由落体运动。进而，学习者开始分类讨论，如果在天台上用 hammer 的方式扔飞盘，或许他会用一种模型来刻画这个轨迹，可能是更偏抛体运动的模型。
但是如果用正手或反手正常平飞的方法扔飞盘，似乎在学习者已学习的模型中，找不到很好的、已学过的物理知识去解决问题。这个时候他们就会去问物理老师怎么办，甚至会自己去查文献。课堂中一些学习者就查到一篇文章，有人确实研究过飞盘的运动轨迹，他做过一些数据，如飞盘扔出去的角度、初速度和能飞行的最高高度的关系是什么，会在多远落地等。这些信息整合之后，学习者会发现自己更加接近于一个真实的问题了。要来到这里，学习者需要付出很多努力，走很多弯路，会有绞尽脑汁而不得其解的过程，但当他真正走到这里，会发现他得到的答案一定比直接假设任何方式扔出去的飞盘都是一个抛体运动要更加真实，这样他的收获也是更巨大的。

学习者产出 - 探索「我们能在天台玩飞盘吗」
Susan：这么厉害！
曹老师：哈哈！其实对于教师来讲，布置这种类型的应用问题和布置一道应用题，我看到学习者的答案时，我的快乐程度也是完全不一样的。当我要给予千奇百怪的答案反馈时，我也要付出更多的精力，我要尝试去理解他查找的这篇文献的内容，我可能都没看过，这也是对我的挑战。但是当我看到他用自己的逻辑构建出了非常好的答案和解决方法之后，我也会为他们赞叹。他们会收获智识上的快乐，也带给了我智识上的快乐。
Susan：我想补充一个问题，当老师在看报告型作业的时候，他除了能直接从字数，或学习者参考的资料上看到他付出的努力，关于学生运用了哪些认知能力，老师是如何看到呢？比如说学习者都查了很多资料，或者是都想了很多测量方法，但还有什么信息是老师看到后，认为这个学生的思维已经达到了很缜密的程度；或者除了学习者付出的努力之外，还有哪些信息是老师在查看作业时需要看到的？
曹老师：你问到了教育学上一个关键的问题。这也是探月在设计课程、迭代课程的时候，一直去触及的问题，就是我们拿什么去评价学习者的能力？他的付出我们如何看到？除了考试之外，我们怎样去看到学习者的成长？在教育领域中，有很多研究都在试图回答这个问题，脱离了考试之外，我们如何评价学习者的收获和成长？对于探月来说，我们一直以来努力追求的就是素养本位的教育，落实到每一节课堂中，我们会观察学习者在认知能力和认知技能上有什么样的表现。会根据相应的研究，沉淀出适宜的 rubrics，就是评价量规，这个量规可以界定不同类型的产出。比如说，我现在让学习者提交一份探究报告，报告里面我会要求几个不同维度的要点：第一，要学会问问题。提出问题后，首先要叙述，学习者要用报告的第一个篇幅来陈述这个问题的背景是什么。第二，以我教的数学举例，这个问题如何转变为一个数学问题，也就是说一定会有一个抽象的过程。
比如学习者虽然现在面对的是扔飞盘的问题，但是在解决这个问题过程中，哪里出现直角三角形？哪里有一个被抽象成点的物体在开始做某种二次函数所概括的抛体运动的曲线？现实世界里物体本身是飞盘，但是在数学世界中把它当成一个点来处理，学习者是否能在他的报告中意识到他在做抽象表述？每一步思考中，抽象一直在发生，学习者的思维一定是经历了从现实世界中复杂的、不知如何概括的飞盘，来到了数学世界中的一个点，或者来到了数学层面的一个元素、一个对象，这个过程就是他建立数学问题的过程。
与之类似的，还会有如何去分析建立数学模型时的必要的假设，并给出哪些假设不用考虑。比如天气，是否下雨，风速多少？不用考虑的事情，是指你认为这些因素和自己做的研究不是很相关，所以你给出的一个限定是什么？在这个基础上，你找到了某一个模型。你需要表述那个模型是怎么找到的，为什么合理？你用那个模型收集了什么数据？你是否用合适的分析方法分析了数据？你最后有没有验证你的结果？以及你最后把这个抽象到数学世界，用了一套你的数学方法得出来的结论，怎样让他回到现实世界中？又怎样去和你真正研究的飞盘会不会飞出围栏，会不会砸到人等等的一系列问题相关联？你对于数学从抽象世界到现实世界的翻译，有没有在你的报告中体现？以上这些内容，是从数学探究报告中体现出的认知能力的维度，是我们非常在意的。考察维度会有相应的级别，学习者做到哪几点是第一级别，哪几点是第二级别，以此类推，每个级别都会有相应的清晰描述。
当然作为老师也很期待，如果有学习者运用了明显超出他课内所学的该学科和跨学科知识的时候，我们也会在知识层面给他一个相应的评价和激励，我们会认为这是一份在知识层面上有很好展现的作品。
Susan：明白。是否所有学习者，一开始都有这种抽象的意识，和整理自己思维过程的意识呢？从学习者的接受层面来说，他们有没有经历一些变化或者是逐渐适应的过程？
曹老师：这也是我们一直触及到的问题，这些数学上的认知能力是不是能够被培养，是不是能够生长出来？我个人以及很多研究都会认为，这些能力是可以训练和培养的，这也是素养本位教育一个很重要的出发点。当然一开始学习者在知识层面上暂时的优秀，会很容易通过考试发现。但是在认知能力上，确实一开始是缺乏数据支持的。探月正在累积更多通过评价维度评价后的作业和产出。通过对这些数据的分析，我们更加清楚的了解到，例如一个九年级的学习者在数学建模上的表现如何，课程设计的老师清晰掌握他现在的水平，并可以设计出有难度的任务，能够让他在目前的基础上有所发展。每一位学习者在进入探月后，我们会收集他们的学习档案和他们在每种类型的产出中的表现，然后再考量高阶课程应该着力去关注评价什么内容。

一哥的数学课堂
当然这个过程也会启发教师在教学过程中安排一些活动，去锻炼学习者相应的能力。比如说我的课程最后的大报告，需要呈现学习者所有维度的表现，但我会在课堂中对问题做一个拆分，让学习者只集中于去做一开始的数学抽象。我会给很多古代的或者是历史上的现实问题，让学习者自己去猜测当时的数学家可能用什么样的办法把这个问题抽象成什么。这种练习就会不断的强化从现实世界到数学抽象的思维能力，在数学建模的每一个维度，我都可以去做这样的课程设计。去着力锻炼某一个维度的某一个表现，最后再让学习者去做更复杂的大任务，来整体呈现所有维度上他们的成长与收获。

Susan：未来您的课堂迭代或者更新的方向是什么？目前还有哪些需要进一步解决的问题？或者说接下来会往什么方向去努力？
曹老师：从更大范围、更底层方面来讲，我一直希望能更加整体地把数学史融入到数学教学过程中，数学学习需要真实的情境，我想构建情境让学习者去探究、去理解现在所学的知识。那么最好的情境，我觉得莫过于历史上那些数学家到底面对过什么真实问题，困境是什么？他们为什么要绞尽脑汁甚至花几百年去研究那个问题？我想把这个情境非常生动地呈现给学习者，让他们自己去探索这些可能在高中阶段根本不要求学习，但却很有趣的领域。在这个领域里面展示了数学最核心的，如何从真实世界到抽象世界的过程，我相信通过对这个过程更多的发掘，一定会让学习者感受到数学的灵魂是什么，数学的美好有哪些。
Susan：相当于把学生放到数学家的脑子里面，让他们想。
曹老师：或者说，放到数学家所面对的情境里面，让他们模拟成为数学家。更精彩的是，他们也许会成为面对同样情境，却给出不一样解决方案的数学家。
Susan：好有趣，如果你开设数学史的课程，我想去蹭课。
曹老师：这是一直以来，我给自己立的 flag（目标）。我非常希望开设数学史的课程，在此之前，我也知道自己还需要更多的学习和积累才行。
对话完。
最 后
听起来，第一个「坑」还是可以爬出来的。