数学方法中的公理化分析与讨论

一、公理化方法的历史沿革
公理化方法（也称公理法）的广泛使用是现代数学的一大特点。数学中的公理化方法起源于欧几里德的《几何原本》(又称《原本》)。欧几里德基于当时所积累的丰富的几何事实，把一些基本概念(点、线、面)加以定义，并选择一些几何的基本命题称为公理。(欧氏原称"公设")它们代表了几何学的基本内容,是全部几何学的逻辑依据。据此运用形式逻辑的法则可以把其余的命题推演出来。这种被推演出来的命题称作定理。
欧几里得的《原本》就是按照这种几何的公理化结构来撰写的。《原本》问世以后，一般都认为它反映了古希腊几何学的最高成就，是此后2000多年严格论证的典范。然而逻辑严密性与其它事物不是绝对一成不变的，而是变化发展的。用现代数学的观点来看，号称逻辑严密完善的《原本》。它的缺点恰恰就在于不是那么严密、不完善。例如欧氏对“点、线、面”并未做逻辑的严格定义，而是一个明显的直觉性的描述。又如由于公理太少，而且所给的公理又是不完备的，缺少像表达点和线的相关位置的结合公理，因而类此的定理并不能由欧氏的公理系统推衍出来。而需籍助于直观“。所以在一些定理的证明过程中，看图是作为证明的一种基本方法，图形则是证明的不可缺少的部分。

由于对平行公设(即第五公设)独立性的讨论,罗巴切夫斯基发现了非欧几何，而非欧几何的建立又在整个数学内部引起了深刻的变革。为了证实罗巴切夫斯基的结论，为了补足欧氏几何的严密性同时也是为了澄清两种几何是并行不悖的,希尔伯托等对几何基础进行了深入的研究。希氏注意到要研究数学中的逻辑推理，要考虑哪些推理过程可以实现，哪些推理过程不能实现。这只与前提和结论的逻辑构成形式有关，而与命题的具体涵义无关。
因此希氏在他的名著《几何基础》当中，放弃了《原本》中公理系统的直观显然性，强调了逻辑推理。只把初等几何中有关基本概念的最根本的东西抽象出来作为公理。而把那些对空间直观进行逻辑分析时无关宏旨的内容加以扬弃，给出了一个自然、简明、全面而又严格的初等几何公理系统。当把这些基本概念看作某一具体领域的元素和关系时，若公理成为该领域的真命题(而这一领域被认为是更有根据的、在逻辑上是清楚的),就叫做给公立系统一个解释。或者说给出公理系统的一个模型。

例如:考虑一非空的抽象元素的集合M,用x、y 、z...来表示M中的元素，M上有一个抽象的关系："在...之前“，或者简记为“”。这里，没有说明x、y、z究竟是什么,也没有说明“”的具体涵义。我们列举两条关于他们的公理：(1)任何元素都不在它自身之前,即对同一元素而言，都不存在"在.......之前"关系,也就是说“”关系是不自返的。(2) 如果"x在y之前，y在z之前"，则"x在z之前",此即为：如果xy，yz，则xz。也就是说关系""是传递的,不难看出公理系统(1)、(2)是有模型的。

二、公理系统的特征
当希尔伯托用形式公理法来展开初等几何的逻辑结构时，首先提出了公理系统的协调性问题。即当基于他的公理系统做逻辑推演时，是不会推出互相矛盾的命题来的，否则这个公理系统就不能反映"真、假"。因而也就没有实际意义了! 他在算术的协调性的条件下证得了欧氏几何(平面)的协调性,也就是说给出了欧氏几何的协调性的一个相对的证明。而由于悖论引起了数学基础的危机，策墨罗曾企图通过集合论的公理化来消除悖论。
希尔伯托认为，要消除悖论则要证明数学的无矛盾即协调性，使数学奠定在严格的公理化的基础上。也就是说，在他们看来任何数学分支都是基于他的公理的一个演绎系统，为了排除悖论，每一门科学乃至一切演绎科学包括所用到的逻辑本身都应考虑他们的协调性。以保证古典数学的成果不为悖论所动摇。
为了给出协调性的绝对证明，希氏创立了证明论和有穷方法，这对数学思想的发展，对数理逻辑和数学基础的研究有着很大的促进作用和深远影响。以协调性为中心论题的证明论已成为公认的数理逻辑的四大分支之一。(数理逻辑的其它三个分支为：公理化集合论,模型论和递归论)

对于公理化系统除了协调性的要求外，还应考虑独立性。在一个公理系统中，若公理A不能从其它公理推得，则称A对于其它公理是独立的。我们当然希望在公理系统中没有冗余的东西，希望公理系统尽可能精简。也就是说希望公理系统所包括的要求应该是极少的。然而对一条独立的公理就不能轻易删除，否则它所包含的内容、所代表的一部分事实将不能从其它公理推得。删去的东西就无从得到补充。
独立性问题是很有意义的，非欧几何的创立性就是源于对公设(第五公设)的独立性的探讨。同时,在一个已经极小化了的公理系统中,把所有可能推出的且无可再多的定理证出来，这就是以最好的方式阐明了几何学的逻辑结构，这样才是揭示了几何命题间逻辑关系的全部内容，才真正算是充分地发挥了逻辑推演的作用。
公理系统还应该是完备的，即应籍此出发借助于逻辑系统规则推演出一个数学分支的全部真命题。协调性独立性、完备性是公理化系统的特征。希氏解决了他的公理系统的独立性、极小性和完备性问题，并给出了协调性的相对证明。

三、公理化方法的作用和意义
自希氏的《几何基础》问世以来，用公理化来研究数学的热潮普遍兴起，实践证明：公理化法不仅能探求各个分支的逻辑结构，而且能够发现新的知识。许多重大的数学成果和其它学科的发展都说明了这个方法的巨大作用与强大的生命力。首先应该强调的是：公理化系统作为所考察数学理论的基本概念的隐定义，如群论的四条公理就刻划了具有群结构的对象的基本特征。那么由群公理所推演出来的定理(如群中任意几个元素的乘积,由它们自身及它们的顺序唯一决定)，在群的所有具体模型中都是自然成立的。也就是说这种群结构既表示了抽象的群结构的抽象特征,也表示了群的无限多个模型的具体性质。因此可以认为这种定理就不只是"一个"定理,而是一类定理了！
这说明了公理化法与其抽象性以及应用的广泛性的密切联系，这就是公理化法的力量所在。然而，之所以能做出如此高度的概括与抽象，正在于人们对许多具体的群进行了大量的分析、综合之后，对群的基本特征有了充分的认识，才能够抽象得正确，归纳得恰当，得出这四条公理来。使得能够基于它们来展开群的理论，来观测群的一般结构。这样就不只是在整理这个分支的知识时起到了逻辑依据的作用，不只是单纯地使得讨论简便一些而已，而且更重要的是使得这一分支取得了更为抽象的形式。更符合现代逻辑严密性的要求。

这当然是一种新的重要的知识，这也正是许多数学分支(如代数、几何、拓扑、数论等)广泛采用公理化法的原因。其次，非欧几何的创立，使公理法能够发现新知识的典型例证。基于对欧氏公理系统中公设五的长期讨论最后得到了独立性的结论，从而得到了一种新的几何学(非欧几何学)。同时也指出了几何学的逻辑结构对于几何直观有一定的独立性，还指出了康德把几何学与人类实践分开的唯心论观点是错误的。在此；希氏关于欧氏几何的协调性的相对证明，指出了欧氏几何的协调性依赖于算术的协调性。两个如此不同的领域的结论有着如此密切的联系，这当然颇为发人深省。集合论的公理化，不仅能够避免已知的悖论，而且使得一些长期未能解决的重大问题得到了答案。科恩在1963年对连续统假设和选择公理的独立性的证明就是其中杰出的成就。并且因而促进了公理化集合论乃至整个数理逻辑的研究。

1891年皮亚诺提出了自然数的五条公理以后，促进了算术理论的研究。哥德尔的不完全性定理指出：即使事像算数或者含有算术的系统，如果它是协调的，则存在一个显然是真命题A，但不能从此系统的公理推出(即A不可证明)同时，也不可否证(即A的逆命题亦不可推出)。歌德尔还指出：算术或者包含算术的理论的协调性，都不能用同一系统所建立的逻辑工具来证明。因此全部数学公理化是不可能的，所以希尔伯托的证明论方案是不可能实现的。

哥德尔的这一划时代的成就。曾被誉为当代逻辑学家最重要的发展，是数学和逻辑史上的里程碑。冯诺依曼在1951年3月14日在普林斯顿授予哥德尔以爱因斯坦奖章时说道："哥德尔的这一发现在现代逻辑上是卓绝而不朽的。诚然它胜似一座纪念碑，它也是一个里程碑。这座里程碑虽经四海八荒，千秋万代都仍将光辉闪耀，烛照来者。(纽约时报1951年3月15日报道）
虽然哥德尔的杰出成果是基于公理法而发现的新知识，并且还指出了公理法自身有某种内在的局限。从而使希尔伯托的"证明论方案"宣告破产，当然不应由此简单的归结为对公理法的否定,而应视作对公理法认识的进一步深化，这正像我们不应把公理法看作是数学中的唯一方法，不能过分的强调演绎推理一样。无疑这些基于公理法所发现的数学新知识，应该有助于说明公理法的作用和意义。
如前所述，公理法可以上溯自古希腊时期，特别在希氏的《几何基础》问世以后，更是被争相引用，流传甚广，已成为数学中的主要方法。许多重大的数学分支，都经历过公理化的分析与讨论。其它学科沿用公理法的例子也不少见。牛顿仿效欧氏几何把从哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识，用公理法组成一个逻辑体系，使得能够从牛顿三定律出发，依据逻辑法则把力学定律逐条推出。18世纪，拉格朗日用变分原理研究任意力学系统的微分方程和轨迹。使用公理法对这个领域的成果作出了概括和总结，写成了《解析力学》，这是解析力学的奠基之作。
此外在现代物理学当中，有一个最小作用量原理。从这个原理出发，能把各方面的理论统一起来。这个理论在刚建立的时候，只不过是把牛顿力学重新表达一下而已。后发现在光学和电动力学中都遵守最小作用量原理，从而说明这个原理具有更普遍的指导意义。而现今的基本粒子理论，都是从最小作用量原理出发来进行论证的。

四、公理作为逻辑的格。
人类思维的内容和形式，归根到底还是完全由物质世界所决定的。逻辑法则本身之所以能够以其无可辩驳的威力使我们接受，就在于它们是多次重复的实际经验的反映。一个数学分支可以有不同的公理系统，但他们在逻辑上是等效的，都是该分支的逻辑依据。都是在分析了该分支的大量经验材料之后，针对不同的情况而作出的概括和总结。一切公理的获得、选择和检验最终都离不开实践。它们在大量重复的实践中总结、产生、演化，在实际应用中反复证明、精炼、发展。在认识过程的一定阶段上，以公理作为出发点来进行逻辑推理常常是有益的。
公里法在数学理论的发展中，在学习数学知识培养逻辑思维能力都是必要和有效的。联系到计算机的应用来看，程序的指令系统就是一个公理系统。所以说公理法即不神秘、更非糟粕。一个数学分支的公理化是在这一分支的知识做了相当的积累之后才发生的。在公理化的过程中常常是分析、综合、演绎、归纳、实验和其它方法并举。而公理本身则表现了归纳的结果。一个分支公理化的行程又将促使这个分支进一步的发展。随着数学、力学、物理和其它科学的发展，公理化在形成科学理论方面的作用也在不断得到发展在发展中不断经受实践的检验，不断丰富自己的内容。因此，我们认为公理法是值得深入学习、和研究的。在当下尤其值得提倡。

主要参考文献：
(1)希尔伯托著《几何基础》
(2)A.A. Fraenkel Y. Bar-Hillel Foundation of set Theory.